А– приближенное значение величины А. Большая энциклопедия нефти и газа

В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, например результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.

Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).

Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.

Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:

Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:

1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:

1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3

2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с

3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)

4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С

5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1

6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16

2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:

1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.

2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».

3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?

1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?

2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.

3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.

4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КУРЛЕКСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Томского района
«Математика

в науке и жизни»

«Урок  семинар» по теме:

«Приближенные значения величин»
(О прикладной направленности абсолютной и относительной погрешностей)
Алгебра 7 класс

Учитель математики:

Серебренникова Вера Александровна

Курлек - 2006

это всеобщий язык науки»
Тема: Приближенные значения величин. (Обобщающий урок - семинар)

Цель: 1. Обобщить знания учащихся по данной теме с учетом прикладной направленности (в физике, трудового обучения);

2. Умение работать в группах и принимать участие в выступлениях

Оборудование: 2 линейки с делениями в 0,1см и 1см, термометр, весы, раздаточный материал (лист, копирка, карточки)
Вступительное слово и представление участников семинара (учитель)

Рассмотрим один из важных вопросов – приближенные вычисления. Несколько слов о его важности.

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближенными значениями различных величин.

Напомню, в каких случаях получаются приближенные значения:

1. 
   при подсчете большого количества предметов;
2. 
   при измерениях с помощью приборов различных величин (длины, массы, температуры);
3. 
   при округлении чисел.

Участниками семинара сегодня будут 3 группы: математики, физики и представители производства (практики).

(Представляют группы «старшие», называют свою фамилию).

Оценивать работу семинара будут гости и компетентное жюри от общественности, где есть «математики», «физики» и «практики».

Оцениваться будет работа групп и отдельных участников баллами.
План работы (на доске)

1. Выступления

2. Самостоятельная работа

3. Викторина

4. Итоги
. Выступления.

1. 
   Мерой оценки отклонения приближенного значения от точного

приближенное значение отличается от точного, т.е. точность приближения.

Относительная погрешность оценивает качество измерения и

выражается в процентах.

Если х ≈ α, где х – точное значение, а α – приближенное, то абсолютная погрешность будет: │х – α │, а относительная: │х – α │∕ │α│%

1 . Найдем абсолютную и относительную погрешности приближенного значения, полученного в результате округления числа 0,437 до десятых.

Абсолютная погрешность: │0,437 – 0,4 │= │0,037│= 0,037

Относительная погрешность: 0,037: │0,4│= 0,037: 0,4 = 0,0925 = 9,25%

1. 
   Найдем по графику функции у = х 2 приближенное значение

Если х = 1,6, то у ≈ 2,5

Найдем по формуле у = х 2 точное значение у: у = 1,6 2 = 2,56;

Абсолютная погрешность: │2,56 – 2,5 │= │0,06│= 0,06;

Относительная погрешность: 0,06: │2,5│= 0,06: 2,5 = 0,024 = 2,4%

Если сравнить два результата относительной погрешности 9,25% и

2,4%, то во втором случае качество вычисления будет выше, результат будет точнее.
Отчего зависит точность приближенного значения?

Она зависит от многих причин. Если приближенное значение получено при измерении, то его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение. Никакое измерение не может быть выполнено совершенно точно. Даже сами меры заключают в себе погрешность. Изготовить совершенно точные метровые линейки, килограммовую гирю, литровую кружку чрезвычайно трудно и закон допускает при изготовлении некоторую погрешность.

Например, при изготовлении метровой линейки допускается погрешность 1мм. Само измерение тоже вводит неточность, погрешность в гирях, весах. Например на линейке, которой мы пользуемся, нанесены деления через 1мм, т.е. 0,1см, значит точность измерения этой линейкой до 0,1 (≤ 0,1). На медицинском термометре деления через 0,1 0 , значит точность до 0,1 (≤ 0,1). На весах деления нанесены через 200г, значит точность до 200 (≤ 200).

Округляя десятичную дробь до десятых точность будет до 0,1 (≤ 0,1); до сотых – точность до 0,01 (≤ 0,01).

Точнейшие в мире измерения производятся в лабораториях Института

Не всегда можно найти абсолютную погрешность, так как неизвестно

точное значение величины, а отсюда и относительную погрешность.

В этом случае принято считать что абсолютная погрешность не превосходит цены деления шкалы прибора. Т.е. если например цена деления линейки 1мм = 0,1см, то абсолютная погрешность будет с точностью до 0,1 (≤ 0,1) и будет определена только оценка относительной погрешности (т.е. ≤ какому числу %).

Часто приходится с этим встречаться в физике при демонстрации опытов, при выполнении лабораторных работ.

Задача. Найдем относительную погрешность при измерении длины листа тетради линейками: одна – с точностью до 0,1см (деления через 0,1см); вторая - с точностью до 1см (деления через 1см).

ℓ 1 = 20,4см ℓ 2 = 20,2см

Говорят, относительная погрешность в первом случае до 0,49%(т.е ≤ 0,49%), во втором случае до 4,95% (т.е. ≤ 4,95%).

В первом случае точность измерения выше. Мы говорим не о величине

относительной погрешности, а ее оценке.

На производстве при изготовлении деталей мы пользуемся

штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Абсолютная погрешность при измерении этим прибором составляет точность до 0,1мм. Найдем оценку относительной погрешности при измерении штангенциркулем:

d = 9,86см = 98,6мм

Если сравнить с предыдущими двумя измерениями, то получается точность измерения выше.

Из трех практических примеров можно сделать вывод: что точных значений быть не может, производя измерения в обычных условиях.

Но чтобы точнее выполнить измерение нужно взять измерительный прибор цена деления которого как можно меньше.

4
. Самостоятельная работа по вариантам, с последующей проверкой (под копирку).

(Жюри проверяет самостоятельные работы)

В каких примерах значения величин точные, а в каких приближенные?

1. В классе 36 учеников

2. В рабочем поселке 1000 жителей

3. Железнодорожный рельс имеет длину 50 м

4. Рабочий получил в кассе 10 тысяч рублей

5. В самолете ЯК – 40 120 пассажирских мест

6. Расстояние между Москвой и Санкт – Петербургом 650 км

7. В килограмме пшеницы содержится 30000 зерен

8.Расстояние от Земли до Солнца 1,5 ∙ 10 8 км

9. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «1000», а другой ответил «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

10. Буханка хлеба весит 1 кг и стоит 2500 р.

11. Тетрадь в 12 листов стоит 600 р. и имеет толщину 3 мм

Общие сведения

Часто точное число представляют ограниченным количеством цифр, отбрасывая «лишние» цифры, либо округляя его до определенного разряда. Такое число называют приближенным.

Истинная погрешность приближенного числа, т.е. разность между точным и приближенным числами, при отбрасывании цифр не превышает единицы разряда последней сохраненной цифры, а при отбрасывании с округлением, выполненному по установленным стандартом правилам, половины единицы цифры сохраняемого разряда.

Приближенное число характеризуют числом значащих цифр, к которым относят все цифры, кроме нулей слева.

Цифры в записи приближенного числа называются верными, если погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.

К приближенным числам относятся также результаты измерения А, которыми оценивают действительные значения А д измеряемой величины. Так как истинная погрешность полученного результата неизвестна, то ее заменяют понятием предельной абсолютной погрешности Δ пр = | A - A д | или предельной относительной погрешности δ пр = Δ пр / А (чаще указывается в процентах δ пр = 100 Δ пр / А)

Предельная относительная погрешность приближенного числа может быть оценена по формуле:

где δ – число верных значащих цифр;

n 1 – первая слева значащая цифра.

Для определения необходимого числа верных знаков обеспечивающих заданную предельную относительную погрешность следует руководствоваться правилами:

если первая значащая цифра не превышает трех, то число верных цифр должно быть на единицу больше, чем модуль показателя |-q| при 10 в заданной относительной погрешности δ пр = 10 -q

если первая значащая цифра 4 и больше, то модуль показателя q равен числу верных цифр.

(Если δ пр = 10 - q , то S можно определить по формуле
)

Правила вычислений с приближенными числами

Результат суммирования (вычитания) приближенных чисел будет иметь столько верных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом верных знаков.

При умножении (делении) в полученном результате будет столько значащих верных цифр, сколько их в исходном числе с наименьшим количеством верных знаков.

При возведении в степень (извлечении корня) любой степени результат имеет столько же верных знаков, сколько их в основании.

Число и мантисса его логарифма содержит одинаковое количество верных знаков.

Правило запасной цифры. Чтобы по возможности уменьшить ошибки округления, рекомендуется в тех исходных данных, которые это позволяют, а также и в результате, если он будет участвовать в дальнейших вычислениях, сохранить по одной лишней цифре сверх того, что определено правилами 1-4.

3. Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Класс точности – обобщенная характеристика, используемая для оценки предельных значений основной и дополнительной погрешностей.

Основной называют погрешность прибора, присущую ему в нормальных условиях эксплуатации.

Условия эксплуатации определяются значениями влияющих на показания приборов величин, не являющихся для данного прибора информативными. К влияющим величинам относят температуру среды, в которой выполняются измерения, положение шкалы прибора, частоту измеряемой величины (не для частотомеров), напряженность внешнего магнитного (или электрического) поля, напряжение питания электронных и цифровых приборов и др.

В технической документации прибора указывают нормальный и рабочий диапазоны значений влияющих величин. Использование прибора при значении влияющей величины вне пределов рабочего диапазона не допускается.

Класс точности прибора устанавливают по форме:

предела абсолютной погрешности Δ пр = ± а или Δ пр = ± (а + b A);

предела относительной погрешности δ пр = ± p или δ пр = ± ;

предела приведенной погрешности γ пр = ± k

Числа a, b, p, c, d, k выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 10 n , где n = 1, 0, -1, -2 и т.д.

А – показания прибора;

А max – верхний предел используемого диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность

,

где А н – нормирующее значение, условно принятое для данного прибора, зависящее от формы шкалы.

Определение А н для наиболее часто встречающихся шкал приведены ниже:

а) односторонняя шкала б) шкала с нулем внутри

А н = А max A н = |A 1 | + A 2

в) шкала без нуля г) существенно неравномерная шкала (для омметров, фазометров)

А н = А 2 – А 1 А н = L

Правила и примеры обозначения классов точности приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например , если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2 . В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу , которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например , число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01 , так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01 . Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 .*

(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например , 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граничная погрешность всегда положительна).

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а » обозначают символом Δа . Запись

х ≈ а ( Δа )

следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δа и а –Δа, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают Н Гх и В Гх .

Например , если х ≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4 .

Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х ≈ 7,35 ( 0,05).

Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.

Например , если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.

Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью ; обозначают её так: Δа/а . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах .

Например , если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км , но меньше 12,7 км , то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму , тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км , а граничная