Модуль Юнга (упругости). Расчетные сопротивления и модули упругости для различных строительных материалов Нормативные данные для рассчетов железобетонных конструкций

Модуль упругости - это физическая величина, которая характеризует упругое поведение материала при приложении к нему внешней силы в конкретном направлении. Под упругим поведением материала подразумевается его деформация в упругой области.

История исследования упругости материалов

Физическая теория и их поведения при действии внешних сил была подробно рассмотрена и изучена английским ученым XIX века Томасом Юнгом. Однако сама концепция упругости была развита еще в 1727 году швейцарским математиком, физиком и философом Леонардом Эйлером, а первые эксперименты, связанные с модулем упругости, провел в 1782 году, то есть за 25 лет до работ Томаса Юнга, венецианский математик и философ Якопо Рикатти.

Заслуга заключается в том, что он придал теории упругости стройный современный вид, который впоследствии был оформлен в виде простого, а затем и обобщенного закона Гука.

Физическая природа упругости

Любое тело состоит из атомов, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания. Равновесие этих сил обуславливает состояние и параметры вещества при данных условиях. Атомы твердого тела при приложении к ним незначительных внешних сил растяжения или сжатия начинают смещаться, создавая противоположную по направлению и равную по модулю силу, которая стремится вернуть атомы в начальное состояние.

В процессе такого смещения атомов энергия всей системы увеличивается. Эксперименты показывают, что при малых деформациях энергия пропорциональна квадрату величины этих деформаций. Это означает, что сила, будучи производной по энергии, оказывается пропорциональной первой степени величины деформации, то есть зависит от нее линейно. Отвечая на вопрос, что такое модуль упругости, можно сказать, что это коэффициент пропорциональности между силой, действующей на атом, и деформацией, которую эта сила вызывает. Размерность модуля Юнга совпадает с размерностью давления (Паскаль).

Предел упругости

Согласно определению, модуль упругости показывает, какое напряжение нужно приложить к твердому телу, чтобы его деформация составила 100 %. Однако все твердые тела обладают пределом упругости, который равен 1 % деформации. Это означает, что если приложить соответствующее усилие и деформировать тело на величину, меньшую 1 %, тогда после прекращения действия этого усилия тело точно восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. При приложении слишком большого усилия, при котором величина деформации превышает 1 %, после прекращения действия внешней силы тело уже не восстановит первоначальные размеры. В последнем случае говорят о существовании остаточной деформации, которая является свидетельством превышения упругого предела данного материала.

Модуль Юнга в действии

Для определения модуля упругости, а также для понимания, как им пользоваться, можно привести простой пример с пружиной. Для этого необходимо взять металлическую пружину и измерить площадь круга, который образуют ее витки. Это делается по простой формуле S = πr², где п - число пи, равное 3,14, а r - радиус витка пружины.

Далее следует замерить длину пружины l 0 без нагрузки. Если повесить какой-либо груз массой m 1 на пружину, тогда она увеличит свою длину до некоторой величины l 1 . Модуль упругости E можно вычислить, исходя из знания закона Гука по формуле: E = m 1 gl 0 /(S(l 1 -l 0)), где g - ускорение свободного падения. В данном случае отметим, что величина деформации пружины в упругой области может намного превышать 1 %.

Знание модуля Юнга позволяет предсказывать величину деформации при действии конкретного напряжения. В данном случае, если повесить на пружину другую массу m 2 , получим следующую величину относительной деформации: d = m 2 g/(SE), где d - относительная деформация в упругой области.

Изотропия и анизотропия

Модуль упругости является характеристикой материала, которая описывает силу связи между его атомами и молекулами, однако конкретный материал может иметь несколько различных модулей Юнга.

Дело в том, что свойства каждого твердого тела зависят от его внутренней структуры. Если свойства одинаковы во всех пространственных направлениях, то речь идет об изотропном материале. Такие вещества имеют однородное строение, поэтому действие внешней силы в различных направлениях на них вызывает одинаковую реакцию со стороны материала. Все аморфные материалы обладают изотропией, например, резина или стекло.

Анизотропия - явление, которое характеризуется зависимостью физических свойств твердого тела или жидкости от направления. Все металлы и сплавы на их основе обладают той или иной кристаллической решеткой, то есть упорядоченным, а не хаотичным расположением ионных остовов. Для таких материалов модуль упругости меняется в зависимости от оси действия внешнего напряжения. Например, металлы с кубической симметрией, к которым относятся алюминий, медь, серебро, тугоплавкие металлы и другие, обладают тремя различными модулями Юнга.

Модуль сдвига

Описание упругих свойств даже изотропного материала не обходится знанием одного модуля Юнга. Поскольку, помимо растяжения и сжатия, на материал можно подействовать сдвиговыми напряжениями или напряжениями кручения. В этом случае он будет реагировать на внешнее усилие иначе. Для описания упругой вводят аналог модуля Юнга, модуль сдвига или модуль упругости второго рода.

Все материалы слабее сопротивляются сдвиговым напряжениям, чем растяжению или сжатию, поэтому значение модуля сдвига для них в 2-3 раза меньше, чем значения модуля Юнга. Так, для титана, модуль Юнга которого равен 107 ГПа, модуль сдвига составляет всего лишь 40 ГПа, для стали эти цифры имеют значения 210 ГПа и 80 ГПа, соответственно.

Модуль упругости дерева

Дерево относится к анизотропным материалам, поскольку древесные волокна ориентированы вдоль конкретного направления. Именно вдоль волокон измеряют модуль упругости древесины, поскольку поперек волокон он меньше на 1-2 порядка. Знание модуля Юнга для дерева играет важную роль и учитывается при проектировании конструкций из деревянных панелей.

Значения модуля упругости древесины для некоторых видов деревьев приведены в таблице ниже.

Следует отметить, что приведенные значения могут отличаться на величину порядка 1 ГПа для конкретного дерева, поскольку на его модуль Юнга влияет плотность древесины и условия произрастания.

Модули сдвига для различных пород деревьев находятся в пределах 1-2 ГПа, например, для сосны это 1,21 ГПа, а для дуба 1,38 ГПа, то есть древесина практически не сопротивляется сдвиговым напряжениям. Данный факт должен учитываться при изготовлении деревянных несущих конструкций, которые проектируют так, чтобы они работали только на растяжение или сжатие.

Характеристики упругости металлов

Если сравнивать с модулем Юнга древесины, то средние значения этой величины для металлов и сплавов на порядок больше, что показано в следующей таблице.

Упругие свойства металлов, которые имеют кубическую сингонию, описываются тремя упругими постоянными. К таким металлам относятся медь, никель, алюминий, железо. Если металл имеет гексагональную сингонию, тогда для описания его упругих характеристик уже необходимо шесть постоянных.

Для металлических систем модуль Юнга измеряют в пределах 0,2 % деформации, поскольку большие значения могут происходить уже в неупругой области.

Основной главной задачей инженерного проектирования служит выбор оптимального сечения профиля и материала конструкции. Нужно найти именно тот размер, который обеспечит сохранение формы системы при минимальной возможной массе под влиянием нагрузки. К примеру, какую именно сталь следует применять в качестве пролётной балки сооружения? Материал может использоваться нерационально, усложнится монтаж и утяжелится конструкция, увеличатся финансовые затраты. На этот вопрос ответит такое понятие как модуль упругости стали. Он же позволит на самой ранней стадии избежать появления этих проблем.

Общие понятия

Модуль упругости (модуль Юнга) - это показатель механического свойства материала, характеризующий его сопротивляемость деформации растяжения . Иными словами, это значение пластичности материала. Чем выше значения модуля упругости, тем меньше будет какой-либо стержень растягиваться при иных равных нагрузках (площадь сечения, величина нагрузки и другие).

Модуль Юнга в теории упругости обозначается буквой Е. Он является составляющей закона Гука (о деформации упругих тел). Эта величина связывает возникающее в образце напряжение и его деформацию.

Измеряется эта величина согласно стандартной международной системе единиц в МПа (Мегапаскалях) . Но инженеры на практике больше склоняются к применению размерности кгс/см2.

Опытным путём осуществляется определение этого показателя в научных лабораториях. Сутью этого метода является разрыв гантелеобразных образцов материала на специальном оборудовании. Узнав удлинение и натяжение, при которых образец разрушился, делят переменные данные друг на друга. Полученная величина и является модулем (Юнга) упругости.

Таким образом определяется только модуль Юнга материалов упругих: медь, сталь и прочее. А материалы хрупкие сжимают до того момента, пока не появятся трещины: бетон, чугун и им подобные.

Механические свойства

Только при работе на растяжение или сжатие модуль (Юнга) упругости помогает угадать поведение того или иного материала . А вот при изгибе, срезе, смятии и прочих нагрузках потребуется ввести дополнительные параметры:

Кроме всего вышесказанного стоит упомянуть, что у некоторых материалов в зависимости от направления нагрузки разные механические свойства . Подобные материалы называются анизотропными. Примерами подобного является ткани, некоторые виды камня, слоистые пластмассы, древесина и прочее.

У материалов изотропных механические свойства и деформация упругая в любом направлении одинаковы. К таким материалам относятся металлы: алюминий, медь, чугун, сталь и прочее, а также каучук, бетон, естественные камни, пластмассы неслоистые.

Стоит отметить, что эта величина непостоянная. Даже для одного материала она может иметь разное значение в зависимости от того, в какие точки была приложена сила. Кое-какие пластично-упругие материалы имеют практически постоянное значение модуля упругости при работе как на растяжение, так и на сжатие: сталь, алюминий, медь. А есть и такие ситуации, когда эта величина измеряется формой профиля.

Некоторые значения (величина представлена в миллионах кгс/см2) :

1. Алюминий - 0,7.
2. Древесина поперёк волокон - 0,005.
3. Древесина вдоль волокон - 0,1.
4. Бетон - 0,02.
5. Каменная гранитная кладка - 0,09.
6. Каменная кирпичная кладка - 0,03.
7. Бронза - 1,00.
8. Латунь - 1,01.
9. Чугун серый - 1,16.
10. Чугун белый - 1,15.

Разница в показателях модулей упругости для сталей в зависимости от их марок:

Ещё это значение изменяется в зависимости от вида проката:

1. Трос с сердечником металлическим - 1,95.
2. Канат плетёный - 1,9.
3. Проволока высокой прочности - 2,1.

Как видно, отклонения в значениях модулей упругой деформации стали незначительны. Именно по этой причине большинство инженеров, проводя свои расчёты, пренебрегают погрешностями и берут значение, равное 2,00.

Перед тем, как использовать какой-либо материал в строительных работах, следует ознакомиться с его физическими характеристиками для того, чтобы знать как с ним обращаться, какое механическое воздействие будет для него приемлемым, и так далее. Одной из важных характеристик, на которые очень часто обращают внимание, является модуль упругости.

Ниже рассмотрим само понятие, а также эту величину по отношению к одному из самых популярных в строительстве и ремонтных работах материалу - стали. Также будут рассмотрены эти показатели у других материалов, ради примера.

Модуль упругости - что это?

Модулем упругости какого-либо материала называют совокупность физических величин , которые характеризуют способность какого-либо твёрдого тела упруго деформироваться в условиях приложения к нему силы. Выражается она буквой Е. Так она будет упомянута во всех таблицах, которые будут идти далее в статье.

Невозможно утверждать, что существует только один способ выявления значения упругости. Различные подходы к изучению этой величины привели к тому, что существует сразу несколько разных подходов. Ниже будут приведены три основных способа расчёта показателей этой характеристики для разных материалов:

Таблица показателей упругости материалов

Перед тем, как перейти непосредственно к этой характеристике стали , рассмотрим для начала, в качестве примера и дополнительной информации, таблицу, содержащую данные об этой величине по отношению к другим материалам. Данные измеряются в МПа .

Как можно заметить из представленной выше таблицы, это значение является разным для разных материалов, к тому же показателя разнятся, если учитывать тот или иной вариант вычисления этого показателя. Каждый волен выбирать именно тот вариант изучения показателей, который больше подойдёт ему. Предпочтительнее, возможно, считать модуль Юнга, так как он чаще применяется именно для характеристики того или иного материала в этом отношении.

После того как мы кратко ознакомились с данными этой характеристики других материалов, перейдём непосредственно к характеристике отдельно стали.

Для начала обратимся к сухим цифрам и выведем различные показатели этой характеристики для разных видов сталей и стальных конструкций:

• Модуль упругости (Е) для литья, горячекатанной арматуры из сталей марок, именуемых Ст.3 и Ст. 5 равняется 2,1*106 кг/см^2.
• Для таких сталей как 25Г2С и 30ХГ2С это значение равно 2*106 кг/см^2.
• Для проволоки периодического профиля и холоднотянутой круглой проволоки, существует такое значение упругости, равняющееся 1,8*106 кг/см^2. Для холодно-сплющенной арматуры показатели аналогичны.
• Для прядей и пучков высокопрочной проволоки значение равняется 2·10 6 кГ/см^2
• Для стальных спиральных канатов и канатов с металлическим сердечником значение равняется 1,5·10 4 кГ/см^2, в то время как для тросов с сердечником органическим это значение не превышает1,3·10 6 кГ/см^2 .
• Модуль сдвига (G) для прокатной стали равен 8,4·10 6 кГ/см^2 .
• И напоследок коэффициент Пуассона для стали равен значению 0,3

Это общие данные, приведённые для видов стали и стальных изделий. Каждая величина была высчитано согласно всем физическим правилам и с учётом всех имеющихся отношений, которые используются для выведения величин этой характеристики.

Ниже будет приведена вся общая информация об этой характеристике стали. Значения будут даваться как по модулю Юнга , так и по модулю сдвига, как в одних единицах измерения (МПа), так и в других (кг/см2, ньютон*м2).

Сталь и несколько разных её марок

Значения показателей упругости стали разнятся, так как существуют сразу несколько модулей , которые исчисляются и высчитываются по-разному. Можно заметить тот факт, что в принципе сильно показатели не разнятся, что свидетельствует в пользу разных исследований упругости различных материалов. Но сильно углубляться во все вычисления, формулы и значения не стоит, так как достаточно выбрать определённое значение упругости, чтобы уже в дальнейшем ориентироваться на него.

Кстати, если не выражать все значения числовыми отношениями, а взять сразу и посчитать полностью, то эта характеристика стали будет равна: Е=200000 МПа или Е=2 039 000 кг/см^2 .

Данная информация поможет разобраться с самим понятием модуля упругости, а также ознакомиться с основными значения данной характеристики для стали, стальных изделий, а также для нескольких других материалов.

Следует помнить, что показатели модуля упругости разные для различных сплавов стали и для различных стальных конструкций, которые содержат в своём составе и другие соединения. Но даже в таких условиях, можно заметить тот факт, что различаются показатели ненамного. Величина модуля упругости стали практически зависит от структуры. а также от содержания углерода. Способ горячей или холодной обработки стали также не может сильно повлиять на этот показатель.

Одной из главных задач инженерного проектирования является выбор материала конструкции и оптимального сечения профиля. Необходимо найти тот размер, который при минимально возможной массе будет обеспечивать сохранение формы системы под воздействием нагрузки.

Например, какой номер стального двутавра использовать в качестве пролетной балки сооружения? Если взять профиль размерами ниже требуемого, то гарантировано получим разрушение строения. Если больше, то это ведет к нерациональному использованию металла, а, следовательно, утяжелению конструкции, усложнению монтажа, увеличению финансовых затрат. Знание такого понятия как модуль упругости стали даст ответ на вышепоставленный вопрос, и позволит избежать появления данных проблем на самом раннем этапе производства.

Общее понятие

Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) - один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).

В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.

Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.

Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.

Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы - чугун, бетон - сжимают до появления трещин.

Дополнительные характеристики механических свойств

Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:

• Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
• Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
• Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
• Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
• Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
• Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.

Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.

У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.

Значение модуля упругости

Необходимо заметить, что модуль Юнга не является постоянной величиной. Даже для одного и того же материала он может колебаться в зависимости от точек приложения силы.

Некоторые упруго - пластичные материалы обладают более или менее постоянным модулем упругости при работе как на сжатие, так и на растяжение: медь, алюминий, сталь. В других случаях упругость может изменяться исходя из формы профиля.

Вот примеры значений модуля Юнга (в миллионах кгс\см2) некоторых материалов:

• Латунь - 1,01.
• Бронза - 1,00.
• Кирпичная каменная кладка - 0,03.
• Гранитная каменная кладка - 0,09.
• Бетон - 0,02.
• Древесина вдоль волокон - 0,1.
• Древесина поперек волокон - 0,005.
• Алюминий - 0,7.

Рассмотрим разницу в показаниях между модулями упругости для сталей в зависимости от марки.

При расчете строительных конструкций нужно знать расчетное сопротивление и модуль упругости для того или иного материала. Здесь представлены данные по основным строительным материалам.

Таблица 1. Модули упругости для основных строительных материалов

Нормативные данные для рассчетов железобетонных конструкций

Таблица 2. Модули упругости бетона (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 2.1 Модули упругости бетона согласно СНиП 2.03.01-84*(1996)

Примечания:
1. Над чертой указаны значения в МПа, под чертой - в кгс/см².
2. Для легкого, ячеистого и поризованного бетонов при промежуточных значениях плотности бетона начальные модули упругости принимают по линейной интерполяции.
3. Для ячеистого бетона неавтоклавного твердения значения Е b принимают как для бетона автоклавного твердения с умножением на коэффициент 0,8.
4. Для напрягающего бетона значения Е b принимают как для тяжелого бетона с умножением на коэффициент
a = 0,56 + 0,006В.

Таблица 3. Нормативные значения сопротивления бетона (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 4. Расчетные значения сопротивления бетона сжатию (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 4.1 Расчетные значения сопротивления бетона сжатию согласно СНиП 2.03.01-84*(1996)

Таблица 5. Расчетные значения сопротивления бетона растяжению (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 6. Нормативные сопротивления для арматуры (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 6.1 Нормативные сопротивления для арматуры класса А согласно СНиП 2.03.01-84* (1996)

Таблица 6.2 Нормативные сопротивления для арматуры классов В и К согласно СНиП 2.03.01-84* (1996)

Таблица 7. Расчетные сопротивления для арматуры (согласно СП 52-101-2003)

Таблица 7.1 Расчетные сопротивления для арматуры класса А согласно СНиП 2.03.01-84* (1996)

Таблица 7.2 Расчетные сопротивления для арматуры классов В и К согласно СНиП 2.03.01-84* (1996)

Нормативные данные для расчетов металлических контрукций

Таблица 8. Нормативные и расчетные сопротивления при растяжении, сжатии и изгибе (согласно СНиП II-23-81 (1990)) листового, широкополосного универсального и фасонного проката по ГОСТ 27772-88 для стальных конструкций зданий и сооружений

Примечания:
1. За толщину фасонного проката следует принимать толщину полки (минимальная его толщина 4 мм).
2. За нормативное сопротивление приняты нормативные значения предела текучести и временного сопротивления по ГОСТ 27772-88.
3. Значения расчетных сопротивлений получены делением нормативных сопротивлений на коэффициенты надежности по материалу, с округлением до 5 МПа (50 кгс/см²).

Таблица 9. Марки стали, заменяемые сталями по ГОСТ 27772-88 (согласно СНиП II-23-81 (1990))

Примечания:
1. Стали С345 и С375 категорий 1, 2, 3, 4 по ГОСТ 27772-88 заменяют стали категорий соответственно 6, 7 и 9, 12, 13 и 15 по ГОСТ 19281-73* и ГОСТ 19282-73*.
2. Стали С345К, С390, С390К, С440, С590, С590К по ГОСТ 27772-88 заменяют соответствующие марки стали категорий 1-15 по ГОСТ 19281-73* и ГОСТ 19282-73*, указанные в настоящей таблице.
3. Замена сталей по ГОСТ 27772-88 сталями, поставляемыми по другим государственным общесоюзным стандартам и техническим условиям, не предусмотрена.

Расчетные сопротивления для стали, используемой для производства профилированных листов здесь не показаны.