Математическая модель конфликтной ситуации называется. Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат. Чистые и смешанные стратегии игроков

Обобщение. Состоит в исследовании свойств, связей и отношений конфликта, которые характеризуют не отдельно взятый конфликт, а целый класс однородных в данном отношении конфликтов. При обобщении важно уметь выделять единичное, то, что свойственно только этой конфликтной ситуации, и общее, что присуще целому ряду конфликтов. Данный метод применяется в большинстве научных дисциплин, изучающих конфликт.

Сравнительный метод. Предполагает сопоставление ряда аспектов конфликта и выяснение сходства или различия их проявлений в раз­личных конфликтах. В результате сравнения устанавливаются раз­личия в параметрах конфликта, что позволяет дифференцированно управлять конфликтными процессами.

Математическое моделирование конфликтов

В последнее время для исследования межгрупповых и межгосудар­ственных конфликтов все чаще применяется метод математического моделирования. Его значимость связана с тем, что экспериментальные исследования таких конфликтов достаточно трудоемки и сложны. Наличие модельных описаний позволяет изучить возможное разви­тие ситуации с целью выбора оптимального варианта их регулирова­ния.

Математическое моделирование с привлечением современных средств вычислительной техники дает возможность перейти от простого на­копления и анализа фактов к прогнозированию и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Если методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта позволяют получать единичное решение конфликтного события, то математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет просчитывать различные варианты их развития с прогнозированием вероятно­го исхода и влияния на результат.

Математическое моделирование межгрушювых конфликтов позволяет заменить непосредственный анализ конфликтов анализом свойств и характеристик их математических моделей.

Математическая модель конфликта представляет собой систему формализованных соотношений между характеристиками конфликта, разделяемыми на параметры и переменные. Параметры модели отража­ют внешние условия и слабо меняющиеся характеристики конфликта, переменные составляющие - основные для данного исследования характеристики.

Изменение этих значений конфликта представляет главную цель моделирования. Содержательная и операциональная объясняемость используемых переменных и параметров - необходимое условие эффективности моделирования.

Использование математического моделирования конфликтов на­чалось в середине XX в., чему способствовало появление электрон­но-вычислительной техники и большое количество прикладных ис­следований конфликта. Пока трудно дать четкую классификацию математических моделей, используемых в конфликтологии. В осно­вание классификации моделей можно положить применяемый мате­матический аппарат (дифференциальные уравнения, вероятностные распределения, математическое программирование и т. п.) и объектымоделирования (межличностные конфликты, межгосударственные конфликты, конфликты в животном мире и т. д.). Можно выделить типичные математические модели, используемые в конфликтоло­гии:

вероятностные распределения представляют собой простейший способ описания переменных через указание доли элементов со­вокупности с данным значением переменной;

статистические исследования зависимостей - класс моделей, ши­роко применяемый для изучения социальных явлений. Это преж­де всего регрессионные модели, представляющие связь зависимых и независимых переменных в виде функциональных отношений;

марковские цепи описывают такие механизмы динамики распре­делений, где будущее состояние определяется не всей предысто­рией конфликта, а только «настоящим». Основным параметром конечной цепи Маркова является вероятность перехода стати­стического индивида (в нашем случае оппонента) из одного состояния в другое за фиксированный промежуток времени. Каж­дое действие приносит частный выигрыш (проигрыш); из них складывается результирующий выигрыш (проигрыш);

модели целенаправленного поведения представляют собой исполь­зование целевых функций для анализа, прогнозирования и плани­рования социальных процессов. Эти модели обычно имеют вид задачи математического программирования с заданными целевой функцией и ограничениями. В настоящее время это направление ориентировано на моделирование процессов взаимодействия це­ленаправленных социальных объектов, в том числе и определение вероятности возникновения конфликта между ними;

теоретические модели предназначены для логического анализа тех или иных содержательных концепций, когда затруднена воз­можность измерения основных параметров и переменных (воз­можные межгосударственные конфликты и др.);

имитационные модели представляют собой класс моделей, реали­зованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ и отражающих сложные зависимости, не поддающиеся содержательному анали­зу. Имитационные модели - это средство машинного экспери­мента. Оно может использоваться как для теоретических, так и для практических целей. Этот способ моделирования применя­ется для исследования развития уже идущих конфликтов.

Тема 10. Предупреждение конфликтов

1. Особенности профилактики и прогнозирования конфликтов. Объективные и организационно-управленческие условия, способствующие профилактике деструктивных конфликтов.

2. Технология предупреждения конфликта. Изменение своего отношения к ситуации и поведения в ней. Способы и приемы воздействия на поведение оппонента. Психология конструктивной критики.

3. Факторы препятствующие возникновению конфликтов.

4. Методы психокоррекции конфликтного поведения: социально-психологический тренинг; индивидуально-психологическое консультирование; аутогенную тренировку; посредническую деятельность психолога (социального работника); самоанализ конфликтного поведения.

1. Особенности профилактики и прогнозирования конфликтов. Объективные и организационно-управленческие условия, способствующие профилактике деструктивных конфликтов.

Прогнозирование возникновения конфликтов является главной предпосылкой эффективной деятельности по их предупреждению. Прогнозирование и профилактика конфликтов выступают направлениями управленческой деятельности по регулированию социальных противоречий.

Особенности управления конфликтами во многом определяется их спецификой как сложного социального явления.

Важным принципом управления конфликтом является принцип компетентности.

Вмешательство в естественное развитие конфликтной ситуации должно осуществляться компетентными людьми.

Во-первых, - люди, вмешивающиеся в развитие конфликтной ситуации, должны обладать общими знаниями о характере возникновения, развития и завершения конфликтов вообще.

Во-вторых, - необходимо собрать максимально разностороннюю, подробную содержательную информацию о конкретной ситуации.

Еще один принцип .

Регулирование конфликтов требует, не блокировать, а стремиться разрешить его неконфликтными способами.

Лучше все же дать возможность людям защищать свои интересы, но добиться, что бы они делали это путем сотрудничества, компромисса, избегания конфронтации.

Рассмотрим содержание такого понятия как управление конфликтом.

Управление конфликтом – это сознательная деятельность по отношению к нему, осуществляемая на всех этапах его возникновения, развития и завершения участниками конфликта или третьей стороной.

Управление конфликтом включает: диагностику, прогнозирование, профилактику, предупреждение, ослабление, урегулирование, разрешение.

Управление конфликтами более эффективно, если оно осуществляется на ранних этапах возникновения социальных противоречий. Заблаговременное обнаружение социальных противоречий, развитие которых может привести к конфликтам, обеспечивается прогнозированием.

Прогнозирование конфликтов – заключается в обоснованном предположении об их возможном будущем возникновении или развитии.

Прежде чем прогнозировать конфликты, наука должна пройти два этапа в их познании.

Во-первых, - необходима разработка описательных моделей различных видов конфликтов. Необходимо определить сущность конфликтов, дать их классификацию, вскрыть структуру, функции, описать эволюцию и динамику.

Во-вторых, - должны быть разработаны объяснительные модели конфликтов.

Признаки социальной напряженности могут быть выявлены методом обычного наблюдения. Возможны следующие способы прогнозирования " зреющего" конфликта:

1. стихийные мини-собрания (беседы нескольких человек);

2. увеличение числа неявок на работу;

3. увеличение числа локальных конфликтов;

4. снижение производительности труда;

5. повышенный эмоционально-психологический фон;

6. массовое увольнение по собственному желанию;

7. распространению слухов;

8. стихийные митинги и забастовки;

9. рост эмоциональной напряженности.

Выявление источников социальной напряженности и прогнозирование конфликта на ранней стадии его развития значительно снижает затраты и уменьшает возможность негативных последствий. Важным способом управления конфликтами является их профилактика.

Профилактика конфликтов - заключается в такой организации жизнедеятельности субъектов социального взаимодействия, которая исключает или сводит к минимуму вероятность возникновения конфликтов между ними. Профилактика конфликтов – это их предупреждение в широком смысле слова. Предупредить конфликты гораздо легче, чем конструктивно разрешить их. Профилактика конфликтов не менее важна, чем умение конструктивно их разрешить. Она требует меньше затрат сил, средств и времени.

В последнее время для исследования межгрупповых и межгосударственных конфликтов все чаще применяется метод математического моделирования. Его значимость связана с тем, что экспериментальные исследования таких конфликтов достаточно трудоемки и сложны. Наличие модельных описаний позволяет изучить возможное развитие ситуации с целью выбора оптимального варианта их регулирования.

Математическое моделирование с привлечением современных средств вычислительной техники позволяет перейти от простого накопления и анализа фактов к прогнозированию и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Если методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта позволяют получать единичное решение конфликтного события, то математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет просчитывать различные варианты их развития с прогнозированием вероятного исхода и влияния на результат.

Математическое моделирование межгрупповых конфликтов позволяет заменить непосредственный анализ конфликтов анализом свойств и характеристик их математических моделей. Математическая модель конфликта представляет собой систему формализованных соотношений между характеристиками конфликта, разделяемых на параметры и переменные. Параметры модели отражают внешние условия и слабо меняющиеся характеристики конфликта, переменные составляющие - основные Для данного исследования характеристики. Изменение этих значений конфликта представляет главную цель моделирования. Содержательная и операциональная объясняемость используемых переменных и параметров - необходимое условие эффективности моделирования.

Использование математического моделирования конфликтов началось в середине XX в., чему способствовало появление электронно-вычислительной техники и большое количество прикладных исследований конфликта. Пока трудно дать четкую классификацию математических моделей, используемых в конфликтологии. В основание классификации моделей можно положить используемый математический аппарат (дифференциальные уравнения, вероятностные распределения, математическое программирование и т.п.) и объекты моделирования (межличностные конфликты, межгосударственные конфликты, конфликты в животном мире и т.д.). Можно выделить типичные математические модели, используемые в конфликтологии.
Вероятностные распределения представляют собой простейший способ описания переменных через указание доли элементов совокупности с данным значением переменной.
Статистические исследования зависимостей - класс моделей, широко применяемый для изучения социальных явлений. Это прежде всего регрессионные модели, представляющие связь зависимых и независимых переменных в виде функциональных отношений.
Марковские цепи описывают такие механизмы динамики распределений, где будущее состояние определяется не всей предысторией конфликта, а только «настоящим». Основным параметром конечной цепи Маркова является вероятность перехода статистического индивида (в нашем случае - oппонента) из одного состояния в другое за фиксированный промежуток времени. Каждое действие приносит частный выигрыш (проигрыш); из них складывается результирующий выигрыш (проигрыш).

Модели целенаправленного поведения представляют собой использование целевых функций для анализа, прогнозирования и планирования социальных процессов. Эти модели обычно имеют вид задачи математического программирования с заданными целевой функцией и ограничениями. В настоящее время это направление ориентировано на моделирование процессов взаимодействия целенаправленных социальных объектов, в том числе и определение вероятности возникновения конфликта между ними.

Теоретические модели предназначены для логического анализа тех или иных содержательных концепций, когда затрудцена возможность измерения основных параметров и переменных (возможные межгосударственные конфликты и др.). Имитационные модели представляют собой класс моделей, реализованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ и отражающих сложные зависимости, не поддающиеся аналитическому анализу. Имитационные модели - это средство машинного эксперимента. Он может использоваться как для теоретических, так и для практических целей. Этот способ моделирования применяется для исследования развития уже идущих конфликтов.

Ход в игреэто выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. Результат одного хода как правило еще не результат игры а лишь изменение ситуации. Стратегияэто последовательность всех ходов до окончания игры. Обозначим выигрыш игрока Pj через vj.

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Преподаватель: Платонова Татьяна Евгеньевна

Лекция 15. Игровые модели конфликтных ситуаций

Теория игр

Основные понятия теории игр

Игра -это математическая модель конфликтной ситуации. В отличие от реальных конфликтных ситуаций, в математической модели игра ведется по заранее зафиксированным правилам и условиям.

Ход в игре -это выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. В игре двух лиц ходы строго чередуются. Результат одного хода, как правило, еще не результат игры, а лишь изменение ситуации.

Стратегия -это последовательность всех ходов до окончания игры. Термин партия связан с частичной возможной реализацией правил.

Пусть в игре участвуют n партнеров. Обозначим выигрыш игрока Pj через v j . При этом положительное значение v j означает выигрыш, отрицательное-проигрыш, а нулевое значение-ничья.

Цель игры-максимизация выигрыша за счет другого.

Рассмотрим вкратце классификацию игр.

• По количеству игроков игры бывают парные (n =2) и множественные (n > 2).
• В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные , если у игроков имеется конечное число стратегий, и бесконечные , в противном случае.
• Игры бывают с нулевой суммой , если одни выигрывают за счет других.
• Парные игры с нулевой суммой называются антагонистическими .
• Конечные антагонистические игры называются матричными .
• В зависимости от взаимоотношений игроков игры делятся на кооперативные (в которых заранее определены коалиции), коалиционные (игроки могут вступать в соглашения) и бескоалиционные (игрокам нельзя вступать в соглашения).

Ходы игроков делятся на личные , если ход выбирается сознательно, и случайные , если ход выбирается по механизму случайного выбора.

Стратегии бывают оптимальные , которые обеспечивают игроку наибольший успех-выигрыш, и неоптимальные .

Матричные игры

В общем случае матричная игра задается прямоугольной матрицей размерности mxn :

Один игрок имеет m возможных стратегий (A 1 , A 2 ,…, A m ), а другой игрок- n возможных стратегий (B 1 , B 2 ,…, B n ). Элемент-выигрыш, который платит второй игрок первому, если первый выбирает стратегию A i , а второй игрок- стратегию B j . При этом значение выигрыша может быть меньше нуля.

Представим матричную игру в табличной форме, называемой платежной матрицей :

Сформулируем основной принцип матричной игры : первый игрок стремится как можно больше выиграть, а второй – как можно меньше проиграть . Исходя из этого принципа, оба игрока являются сознательными, а матрица игры составлена с точки зрения выигрыша первого игрока; таким образом, выигрыш первого игрока является одновременно проигрышем второго.

Рассмотрим игру с позиции первого игрока. Пусть первый игрок рассматривает возможность применения своей первой стратегии (первой строки матрицы). Тогда его выигрыш в самом худшем случае не будет меньше, чем минимальный элемент первой строки, т.е. . Аналогично, его выигрыш при применении произвольной стратегии А i составит величину, не меньшую, чем. Таким образом, он может среди всех своих стратегий выбрать стратегию, наилучшую в смысле наибольшего из возможных минимальных выигрышей. Это значение гарантированного выигрыша в наихудших условиях противодействия второго игрока называется нижней чистой ценой игры максимину ):

Теперь рассмотрим точку зрения второго игрока. При использовании им своей первой стратегии, которая представлена первым столбцом платежной матрицы, его максимальный проигрыш составит величину при самых неблагоприятный действиях первого игрока. Аналогично, его проигрыш при применении произвольной стратегии В j составит величину, не большую, чем. Это значение гарантированного проигрыша в наихудших условиях противодействия первого игрока называется верхней чистой ценой игры , и оно равно следующему выражению (минимаксу ):

Поэтому стратегии первого игрока называются максиминными , а второго – минимаксными .

Пример 1 . Найти нижнюю и верхнюю чистые цены матричной игры с матрицей:

Нижняя чистая цена игры равна, верхняя чистая цена игры равна. Таким образом, в данном случае. Элемент называется седловым элементом матрицы игры (он является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце), а сама игра – игрой с седловой точкой. При этом нижняя и верхняя чистые цены матричной игры совпадают, и они равны чистой цене игры. Опримальными стратегиями игроков являются, и отступать от них невыгодно ни одному из игроков.

Пример 2 . Решим аналогичную задачу для игры с матрицей:

Здесь имеем. Чистая цена игры. Таким образом, и в игре отсутствует седловая точка. Решение такой игры затруднено. Поясним эту мысль. Стратегия гарантирует первому игроку выигрыш не менее 4 единиц в худшем случае, когда второй игрок выбирает стратегию. Аналогично стратегия гарантирует второму игроку проигрыш не более 7 единиц в худшем случае, когда первый игрок выбирает стратегию. Первому игроку можно избрать стратегию, чтобы выиграть 9 единиц, но второй игрок выберет стратегию.

Создается ситуация, когда партнеры заметались по стратегиям. Значит, в данном случае сам подход к игре необходимо менять.

Чистые и смешанные стратегии игроков

Чистая стратегия игрока – это возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1.

Представим чистые стратегии игроков из примера 1 в виде единичных векторов: стратегия первого игрока, стратегия второго игрока. В общем виде для пары стратегий чистые стратегии можно записать в виде, причем в первом векторе единица стоит на i - й позиции, а во втором векторе – на j - й позиции.

Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор:

Здесь величины вероятности применения соответствующих стратегий первого и второго игроков.

Игра называется активной , если.

Исходя из рассмотренных определений, можно сделать следующие выводы:

1. Игра приобретает случайный характер.
2. Случайной становится величина выигрыша (проигрыша).
3. Средняя величина выигрыша (математическое ожидание выигрыша) является функцией от смешанных стратегий: и называется платежной функцией игры .

Стратегии называются оптимальными , если для произвольных стратегий выполняется условие.

Значение платежной функции при оптимальных стратегиях игроков определяет цену игры , т.е. .

Решением игры называется совокупность оптимальных статегий и цены игры.

Теорема (основная теорема матричных теории игр - теорема фон Неймана). Любая матричная игра имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях – две оптимальные стратегии и соответствующую им цену: .

Методы решения матричных игр

Все методы решения матричных игр, рассматриваемые в нашем курсе, опираются на теорему об активных стратегиях.

Теорема (об активных стратегиях). Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий (т.е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях).

Теперь рассмотрим некоторые частные случаи решаемых матричных игр.

1. Игра, имеющая седловой элемент в платежной матрице (игра с седловой точкой)

В этом случае первый игрок реализует свою максиминную стратегию, а второй игрок – свою минимаксную стратегию, нижняя чистая цена игры равна верхней чистой цене игры. Тогда говорят, что игра решается в чистых стратегиях, отклоняться от которых невыгодно никому (см. пример 1).

1. Игра с платежной матрицей 2 на 2, не имеющей седлового элемента.

Здесь нет оптимального решения в чистых стратегиях, поэтому решение отыскивается в смешанных стратегиях. Чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных статегиях. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры, какой бы активной стратегией ни пользовался второй игрок.

Пусть дана платежная матрица

(вокруг матрицы записаны смешанные стратегии игроков). Запишем для первого игрока два уравнения: первое – для случая прменения вторым игроком только его первой стратегии, и тогда используются только элементы первого столбца матрицы, второе – для случая применения вторым игроком только своей второй стратегии, и тогда используются только элементы второго столбца матрицы. Левые части этих уравнений вычисляют математическое ожидание выигрыша первого игрока, которое равно цене игры. Эти два уравнения содержат сразу три неизвестные - , и сами уравнения при этом являются однородными, поэтому для однозначной разрешимости системы необходимо третье уравнение со свободным членом. Этим добавочным и очень важным уравнением является условие нормировки, согласно которому сумма вероятностей всех событий должна равняться единице. Таким образом, окончательно система уравнений для первого игрока выглядит так:

Эта система решается очень просто по той причине, что в ней можно из третьего уравнения выразить одну неизвестную величину через другую. Решение данной системы дает значения оптимальной смешанной стратегии первого игрока и соответствующую ей цену игры.

Для полного решения игры осталось найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Здесь игроки как бы меняются местами. Построение системы уравнений аналогично предыдущему случаю. Отличие в том, что в качестве коэффициентов системы берутся не столбцы матрицы, а строки, поскольку именно строки отвечают чистым стратегиям первого игрока. Таким образом, система выглядит так:

Пример 3. Найти смешанные стратегии игроков для матрицы.

Составим системы уравнений для первого игрока и для второго:

Решение которых даёт

Таким образом, запишем решение игры в виде:

1. Графическое решение игры два на два.

Снова рассмотрим пример 3. Отложим на оси абсцисс отрезок единичной длины. На концах этого отрезка нарисуем вертикальные оси I - I и II - II . Отложим на оси I - I значения выигрышей первого игрока при использовании им первой стратегии. На оси II - II отложим выигрыши первого игрока при использовании им второй стратегии. Соединим точки отрезками прямых. Ломаная B 1 KB 2 - нижняя граница выигрыша . На этой границе лежит минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии. Точка К , в которой этот выигрыш достигает максимума, определяет решение и цену игры. Для смешанной стратегии второго игрока можем также записать:

Стратегию второго игрока можно найти и непосредственно, если на графике поменять игроков местами, а вместо максимума нижней границы выигрыша рассмотреть минимум верхней границы проигрыша. В любом случае точка К является одновременно точкой максимина и минимакса.

1. Графическое решение игры .

Построение аналогично случаю два на два. Здесь n стратегий противника изобразятся отрезками n прямых. Далее рассматривается нижняя граница, которая представляет собой ломаную. Максимум ломаной достигается в одной из вершин, где пересекаются две стратегии противника, которые являются активными .

В теории игр доказывается, что у любой конечной игры существует решение, в котором число активных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чисел или. Следовательно, игра имеет решение, в котором с каждой стороны участвует не более двух активных стратегий. (Так же может быть решена и игра). Стоит только найти эти стратегии – и игра превращается в игру.

Пример 4 . Решить игру со следующей платежной матрицей:

Эта игра имеет 2 стратегии со стороны первого игрока и три стратегии со стороны второго. Поэтому графическим способом определим одну из стратегий второго игрока, которая является неактивной. Построим график относительно стратегий первого игрока.

Из графика видно, что для второго игрока явно невыгодной является первая стратегия, которая является неактивной. Таким образом, из матрицы игры исключаем первый столбец, соответствующий первой стратегии второго игрока, и приходим к матрице размерности два на два следующего вида:

Для этой матрицы запишем систему уравнений - для первого игрока, и систему: - для второго игрока. Решение этих систем дает следующий результат:

1. Игра с платежной матрицей mx2

Как уже отмечалось выше, игра предварительно решается графически с точки зрения второго игрока. При этом определяются активные стратегии второго игрока. На графике применяется минимаксная стратегия, и рассматривается минимум верхней границы проигрыша. Рассмотрим пример.

Пример . Решить матричную игру со следующей матрицей:

Построим график, где слева отложим значения проигрышей второго игрока при использовании им первой стратегии, а справа – значения проигрышей второго игрока при использовании им второй стратегии.

Из графика видно, что вторая стратегия для первого игрока является невыгодной, поскольку при её применении выигрыш первого игрока (и, соответственно, проигрыш второго) будет меньше. Таким образом, активными стратегиями первого игрока будут первая и третья. Соответственно запишем системы уравнений для смешанных стратегий игроков:

Решение системы: Для первого игрока система имеет вид (стратегию А 2 не учитываем как неперспективную):

Решением системы будут значения Таким образом, решение игры выглядит так: .

1. Игры с доминирующими и дублирующими стратегиями.

Рассмотрим две стратегии первого игрока – i – ю и k – ю. При этом пусть для всех элементов соответствующих строк матрицы выполняются условия: . В этом случае говорят, что i – я стратегия первого игрока доминирует над его j – й стратегией. Если каждое неравенство выполняется как строгое, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. В любом случае из двух стратегий первый игрок предпочтет доминирующую, поскольку при использовании доминируемой стратегии его выигрыш по меньшей мере не увеличится. В этом случае можно принять.

Аналогично рассмотрим две стратегии второго игрока - j - ю и l – ю, и при этом для элементов соответствующих столбцов матрицы выполняются условия: . Для второго игрока, как известно, более выгодной является стратегия, дающая меньший проигрыш, поэтому говорят, что j - я стратегия доминирует над l - й. Если попарные неравенства являются строгими, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. При этом, естественно, .

В случае, если у какого – либо из игроков две стратегии имеют в матрице только совпадающие элементы, то эти стратегии называются дублирующими . При этом неважно, какую из них игрок предпочтет для решения игры.

В результате при наличии доминирующих и дублирующих стратегий часть стратегий можно не рассматривать, что приведет в ряде случаев к значительному упрощению платежной матрицы.

1. Эквивалентное преобразование платежной матрицы.

Это преобразование применяется для облегчения расчетов, и при этом оптимальные смешанные стратегии игроков не изменяются.

Теорема . Оптимальные смешанные стратегии соответственно 1 – го и 2 – го игроков в матричной игре с ценой v будут оптимальными и в матричной игре с ценой, где.

Пример . В матричной игре с платежной матрицей примем b =10, C =-6 . Применим преобразование bA + c , тогда получим игру с теми же оптимальными стратегиями, но с другой эквивалентной матрицей: .

Эквивалентность матричной игры паре двойственных ЗЛП.

Рассмотрим матричную игру размером. Сведем её к задаче линейного программирования в общем виде. Имеем:

Будем считать, что. Это всегда можно сделать по теореме об эквивалентном преобразовании платежной матрицы, следовательно, можно считать цену игры положительным числом, v >0 .

Для первого игрока имеем систему неравенств (с учетом того, что первый игрок стремится как можно больше выиграть, цена игры для него будет превышать v ):

Введем новые переменные делением на цену игры: , тогда получим ЗЛП:

При построении целевой функции учитываем, что цена игры для первого игрока максимизируется.

Аналогично имеем для второго игрока систему неравенств:

Разделив на цену игры и введя новые переменные, получим ЗЛП для второго игрока:

Здесь целевая функция задана на максимум, т.к. цена игры для второго игрока минимизируется.

В результате получили пару симметричных двойственных ЗЛП. Согласно первой теореме двойственности, следовательно, цена игры v имеет одно и тоже значение для обоих игроков.

Понятие об игре с природой (статистические игры)

Здесь один из участников – человек или группа лиц с общей целью – т.н. статистик (игрок А), другой участник – природа (игрок П), или весь комплекс внешних условий, при которых статистику приходится принимать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика.

Статистик имеет m стратегий; природа может реализовать n различных состояний. При этом могут быть известны вероятности реализации состояний природы. Если статистик может оценить применение каждой своей стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей:

При упрощении платежной матрицы нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, т.к. природа может реализовать любое из своих состояний независимо от того, выгодно это статистику или нет. Природа может даже помогать игроку А .

При выборе оптимальной стратегии статистика пользуются различными критериями. При этом опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков.

Риск статистика. Матрица рисков имеет ту же размерность, что и платежная матрица:

Пересчет из платежной матрицы в матрицу рисков производится по столбцам: в каждом столбце платежной матрицы выбирается наибольший элемент, который в матрице рисков заменяют нулем, а остальные элементы столбца матрицы рисков получают вычитанием соответствующих элементов из этого наибольшего элемента.

Если вероятности состояний природы известны, используется критерий Байеса : выбирается та стратегия, которая обеспечивает максимальную величину среднего выигрыша статистика:

При неизвестных вероятностях состояний природы применяется принцип недостаточного основания Лапласа, когда все состояния считаются равновероятными:

Тогда средний выигрыш по каждой стратегии рассчитывается как среднее арифметическое выигрышей по всем возможным состояниям природы:

Эквивалентный подход заключатся в подборе стратегии, обеспечивающей наименьший средний риск статистика:

при известных вероятностях состояний природы и

в случае, если эти вероятности неизвестны. При таком подходе результат будет точно таким же, что и при анализе наибольшего среднего выигрыша.

Если вероятности состояний природы неизвестны, то более широко используются критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Оптимальной по критерию Вальда считается стратегия А i , которая обеспечивает из всех наименьших выигрышей наибольшее значение. В этом случае из матрицы выигрышей (т.е. платежной матрицы) в каждой строке выбирается наименьший элемент, а затем среди этих элементов выбирается наибольший:

По критерию Сэвиджа оптимальной считается стратегия, которая минимизирует величину максимального риска, т.е. из каждой строки матрицы рисков выбирается максимальный элемент, а затем среди этих элементов выбирается строка, в которой находится минимальный элемент:

Оптимально по критерию Гурвица считается стратегия, найденная из условия:

где - «коэффициент пессимизма». При χ=1 имеем критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма, при χ=0 – критерий «крайнего оптимизма». Рекомендуется выбирать χ между нулем и единицей, из субъективных соображений.

В результате применения нескольких критериев они сравниваются между собой, и в качестве наилучшей выбирается та стратегия статистика, которая чаще других фигурирует в качестве наилучшей.

Раздел Теория игр представлен тремя онлайн-калькуляторами :

1. Решение матричной игры . В таких задачах задана платежная матрица. Требуется найти чистые или смешанные стратегии игроков и, цену игры . Для решения необходимо указать размерность матрицы и метод решения.
2. Биматричная игра . Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы матриц – стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице – выигрыши второго.
3. Игры с природой . Используется, когда необходимо выбрать управленческое решение по критериям Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда , Сэвиджа , Гурвица .

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели и результаты действия каждой из сторон зависят от мероприятий противника (или партнера).

Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной . Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие).

Конфликтная ситуация называется антагонистической , если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Каждый из них имеет свои интересы и стремится принимать оптимальные решения, помогающие достигнуть поставленных целей в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера и учитывать решения, которые эти партнеры будут принимать (они заранее могут быть неизвестны). Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр . Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение»

Игра – это математическая модель реальной конфликтной ситуации . Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры – это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B .

Игра называется антагонистической (с нулевой суммой ), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах).
Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы.

Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т.е. игрок выбрал определенную стратегию).

Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Цель теории игр – разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной , если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника).

Пример 1. Каждый из игроков, A или B , может записать, независимо от другого, цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то A выигрывает количество очков, равное разности между цифрами. Если разность меньше 0, выигрывает B . Если разность равна 0 – ничья.
У игрока A три стратегии (варианта действия): A 1 = 1 (записать 1), A 2 = 2, A 3 = 3, у игрока тоже три стратегии: B 1 , B 2 , B 3 .

Группа ученых под руководством сотрудника Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского Александра Петухова выявила параметры, которые нужны для управления системой, описывающей социальные конфликты. В случае полного контроля над этими характеристиками ученые смогут создавать условия для возникновения или предотвращения такого конфликта. Результаты изложены в журнале Simulation.

При математическом моделировании социальных и политических процессов нужно учитывать то, что они не могут быть строго заданными, поскольку подвержены постоянным изменениям. Часто социальный процесс сравнивают с броуновской частицей. Такие частицы двигаются по траектории, которая с одной стороны вполне определенна, но при близком рассмотрении оказывается очень извилистой, с множеством мелких изломов. Эти мелкие изменения (флуктуации) объясняются хаотическим движением других молекул. В социальных процессах флуктуации можно трактовать как проявления свободной воли его отдельных участников, а также случайными проявлениями внешней среды.

В физике такие процессы, как правило, описываются стохастическим диффузионным уравнением Ланжевена, которое относительно часто используется и для моделирования некоторых социальных процессов. Подход, основанный на подобных уравнениях, позволяет учесть проявления свободной воли его отдельных участников и случайные проявления внешней среды для социальной системы. Кроме того, благодаря этому подходу можно рассчитать поведение социальной системы как для единого целого, так и для отдельных индивидов-частиц; также он позволяет выявить характерные устойчивые режимы функционирования систем в зависимости от различных начальных условий. Наконец, с точки зрения численного моделирования диффузионные уравнения в достаточной степени апробированы и изучены.

В основе новой модели лежит идея о том, что индивиды взаимодействуют в обществе через поле коммуникации. Его создает каждый индивид в обществе, моделируя информационное взаимодействие между индивидами. Однако следует иметь в виду, что здесь речь идет о социуме, который отличается от объектов классической физики. По словам руководителя исследований Александра Петухова, с точки зрения переноса информации от индивида к индивиду, пространство в обществе сочетает как классические пространственные координаты, так и дополнительные специфические особенности. Это связанно с тем, что в современном мире для передачи информации не нужно находиться рядом с объектом воздействия.

«Таким образом, социум - это многомерное, социально-физическое пространство, отражающее возможность одного индивида "дотянуться" своим коммуникационным полем до другого, то есть повлиять на него, на его параметры и возможность перемещаться в данном пространстве», - отмечает Александр Петухов. Близкое расположение индивидов в данной модели говорит о том, что они регулярно обмениваются информацией. Для такой постановки проблемы конфликтом следует считать вариант взаимодействия индивидов или групп индивидов, в результате которого расстояние в этом многомерном пространстве между ними резко растет.

На основе такого подхода и разработанной модели ученые нашли следующие закономерности: они смогли установить конкретные граничные условия для возникновения социального конфликта и его усугубления; обнаружили характерную область устойчивости для социальной системы, в которой между объектами сохраняется достаточно малая социальная дистанция; определили зависимости, которые соответствуют некоторым современным этносоциальным конфликтам, что дает возможность использовать эту модель как инструмент при прогнозировании их динамики и формировании сценариев урегулирования.

Также в рамках данных исследований ученые доказали, что переход из устойчивого состояния в неустойчивое для многокомпонентной когнитивной системы распределенного типа представляет собой пороговый эффект. По словам Александра Петухова, выполненные эксперименты выявили конкретные параметры, необходимые для управления подобной системой: они определяют переход из устойчивого состояния в неустойчивое, что дает возможность, при полном их контроле, создавать условия для возникновения социального конфликта, или, напротив, - предотвращать. «Развивая данный подход в дальнейшем, мы получим возможность создать на его основе инструмент для полноценного прогнозирования социальных конфликтов», - подводит итог Александр Петухов.

Понравился материал? в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.

Пресс-релизы о научных исследованиях, информацию о последних вышедших научных статьях и анонсы конференций, а также данные о выигранных грантах и премиях присылайте на адрес science@сайт.