Отношение средней линии трапеции к основанию. Запоминаем и применяем свойства трапеции
Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна друг другу, а другая - нет.
Исходя из определения трапеции и признаков параллелограмма, параллельные стороны трапеции не могут быть равны друг другу. Иначе другая пара сторон также стала бы параллельной и равной друг другу. В таком случае мы имели бы дело с параллелограммом.
Параллельные противоположные стороны трапеции называют ее основаниями . То есть у трапеции два основания. Непараллельные противоположные стороны трапеции называют ее боковыми сторонами .
В зависимости от того, какие боковые стороны, какие углы они образуют с основаниями, выделяют различные виды трапеций. Чаще всего трапеции делят на неравнобедренные (разнобокие), равнобедренные (равнобокие) и прямоугольные.
У разнобоких трапеций боковые стороны не равны друг другу. При этом с большим основанием они обе могут образовывать только острые углы, или один угол будет тупым, а второй острым. В первом случае трапецию называют остроугольной , во втором - тупоугольной .
У равнобедренных трапеций боковые стороны равны друг другу. При этом с большим основанием они могут образовывать только острые углы, т.е. все равнобедренные трапеции остроугольные. Поэтому их не делят на остроугольные и тупоугольные.
У прямоугольных трапеций одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Вторая сторона не может быть им перпендикулярна, т. к. в этом случае мы имели бы дело с прямоугольником. В прямоугольных трапециях неперпендикулярная боковая сторона образует с большим основанием всегда острый угол. Перпендикулярная боковая сторона перпендикулярна обеим основаниям, т. к. основания параллельны.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- обучающая – ввести понятие трапеции, познакомиться с видами трапеций, изучить свойства трапеции, научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач;
- развивающая – развитие коммуникативных качеств учащихся, развитие умения проводить эксперимент, обобщать, делать выводы, развитие интереса к предмету.
- воспитательная – воспитывать внимание, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей, развить у учащихся потребность в самовыражении через различные виды работ.
Формы работы: фронтальная, парная, групповая.
Форма организации деятельности детей: умение слушать, строить обсуждение, высказывать мысль, вопрос, дополнение.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран. На ученических столах: разрезной материал для составления трапеции у каждого ученика на парте; карточки с заданиями (распечатки чертежей и заданий из конспекта урока).
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Приветствие, проверка готовности рабочего места к уроку.
II. Актуализация знаний
- развитие умений классифицировать объекты;
- выделение главных и второстепенных признаков при классификации.
Рассматривается рисунок №1.
Далее идёт обсуждение рисунка.
– Из чего составлена данная геометрическая
фигура? Ответ ребята находят на рисунках: [из
прямоугольника и треугольников].
– Какими должны быть треугольники, составляющие
трапецию?
Выслушиваются и обсуждаются все мнения,
выбирается один вариант: [треугольники должны
быть обязательно прямоугольными].
– Как составляются треугольники и
прямоугольник? [Так, чтобы противоположные
стороны прямоугольника совпадали с катетом
каждого из треугольников].
– А что вы знаете о противоположных сторонах
прямоугольника? [Они параллельны].
– Значит, и в данном четырёхугольнике будут
параллельные стороны? [Да].
– Сколько их? [Две].
После обсуждения учитель демонстрирует
«королеву урока» - трапецию.
III. Объяснение нового материала
1. Определение трапеции, элементы трапеции
- научить учащихся давать определение трапеции;
- называть ее элементы;
- развитие ассоциативной памяти.
– А теперь попробуйте дать полное определение
трапеции. Каждый учащийся продумывает ответ на
вопрос. Обмениваются мнениями в паре, готовят
единый ответ на вопрос. Устный ответ дают по
одному учащемуся от 2-3 пар.
[Трапецией называется четырёхугольник, у
которого две стороны параллельны, а две другие
стороны не параллельны].
– Как называются стороны трапеции? [Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие – боковыми сторонами].
Учитель предлагает сложить из разрезных фигур трапеции. Учащиеся работают в парах, складывают фигуры. Хорошо, если пары учащихся будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает товарищу в случае затруднения.
– Постройте в тетрадях трапецию, запишите названия сторон трапеции. Задайте вопросы по чертежу своему соседу, выслушайте его ответы, сообщите свои варианты ответов.
Историческая справка
«Трапеция»
– слово греческое,
означавшее в древности «столик» (по гречески
«трапедзион» означает столик, обеденный стол.
Геометрическая фигура была названа так по
внешнему сходству с маленьким столом.
В «Началах» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) - главный труд
Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и
посвящённый систематическому построению
геометрии) термин «трапеция» применяется не в
современном, а в другом смысле: любой
четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция»
в нашем смысле встречаются впервые у
древнегреческого математика Посидония (Iв.). В
средние века трапецией называли, по Евклиду,
любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в
XVIIIв. это слово приобретает современный смысл.
Построение трапеции по её заданным элементам. Ребята выполняют задания на карточке №1.
Учащимся приходится конструировать трапеции
самых разных расположений и начертаний. В пункте
1 необходимо построить прямоугольную трапецию. В
пункте 2 появляется возможность построить
равнобедренную трапецию. В пункте 3 трапеция
окажется «лежащей на боку». В пункте 4 рисунок
предусматривают построение такой трапеции, у
которой одно из оснований оказывается
непривычно маленьким.
Ученики «удивляют» учителя разными фигурами,
носящими одно общее название – трапеция. Учитель
демонстрирует возможные варианты построения
трапеций.
Задача 1
. Будут ли равны две трапеции, у
которых соответственно равны одно из оснований и
две боковые стороны?
Обсуждают решение задачи в группах, доказывают
правильность рассуждения.
По одному ученику от группы выполняет чертёж на
доске, объясняет ход рассуждений.
2. Виды трапеции
- развитие двигательной памяти, умений разбивать трапецию на известные фигуры, необходимые для решения задач;
- развитие умений обобщать, сравнивать, давать определение по аналогии, выдвигать гипотезы.
Рассмотрим рисунок:
– Чем отличаются трапеции, изображённые на
рисунке?
Ребята заметили, что вид трапеции зависит от вида
треугольника, расположенного слева.
– Дополните предложение:
Трапеция называется прямоугольной, если …
Трапеция называется равнобедренной, если …
3. Свойства трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.
- выдвижение по аналогии с равнобедренным треугольником гипотезы о свойстве равнобедренной трапеции;
- развитие аналитических умений (сравнивать, выдвигать гипотезу, доказывать, строить).
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
- У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
- У равнобедренной трапеции диагонали равны.
- У равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.
Задача 2.
Докажите, что в
равнобедренной трапеции: а) углы при каждом
основании равны; б) диагонали равны. Для
доказательства этих свойств равнобедренной
трапеции вспоминаются признаки равенства
треугольников. Учащиеся выполняют задание в
группах, обсуждают, записывают решение в тетради.
По одному ученику от группы проводят
доказательство у доски.
4. Упражнение на внимание
5. Примеры применения форм трапеций в повседневной жизни:
- в интерьерах (диваны, стены, навесные потолки);
- в ландшафтном дизайне (границы газонов, искусственных водоемов, камней);
- в индустрии моды (одежда, обувь, аксессуары);
- в дизайне предметов повседневного пользования (светильники, посуда, с использованием форм трапеции);
- в архитектуре.
Практическая работа (по вариантам).
– В одной системе координат постройте равнобедренные трапеции по заданным трём вершинам.
1 вариант: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) и (– 6; – 5), (4; – 5),
(– 4; – 3), (…; …).
2 вариант: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) и (1; – 2), (4; – 3), (4;
– 7), (…; …).
– Определите координаты четвёртой вершины.
Решение проверяется и комментируется всем
классом. Учащиеся указывают координаты
четвёртой найденной точки и устно пытаются
объяснить, почему заданные условия определяют
только одну точку.
Занимательная задача. Сложить трапецию из: а) четырёх прямоугольных треугольников; б) из трёх прямоугольных треугольников; в) из двух прямоугольных треугольников.
IV. Домашнее задание
- воспитание правильной самооценки;
- создание ситуации “успеха” для каждого ученика.
п.44, знать определение, элементы трапеции, ее виды, знать свойства трапеции, уметь их доказывать, №388, №390.
V. Итог урока. В конце урока даётся ребятам анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку.
Трапеция - это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего "стол", "столик". В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.
Общие сведения
Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников - это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.
Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) - боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже...
Виды трапеции
Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них - равнобедренную и прямоугольную.
1. Прямоугольная трапеция - это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.
2. Равнобедренная трапеция - это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.
Главные принципы методики изучения свойств трапеции
К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.
Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.
Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса - это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.
Элементы и свойства равнобедренной трапеции
Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.
А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.
Решение
Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД - это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ - гипотенуза, а БН и АН - катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 - β. Все углы определены.
Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.
Свойство диагоналей равнобедренной трапеции
Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:
Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;
Ее высота и средняя линия равны;
Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;
Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;
Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности - это квадрат, у которого сторона равна радиусу;
Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.
Подобные трапеции
Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам - равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.
Доказательство теоремы
Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС - основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения - О. Получаем четыре треугольника: АОС - у нижнего основания, БОС - у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.
Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.
Свойства подобия
Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина - это среднее гармоническое оснований фигуры.
Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки - Е, Т, О и Ж - будут лежать на одной прямой.
Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.
Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части - В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).
Выводы подобия
Таким образом, мы доказали, что:
1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).
2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).
3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.
4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.
Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О - пересечение диагоналей фигуры - параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ - средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ - средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.
Центр тяжести
Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее - в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.
Вписанные и описанные трапеции
Давайте перечислим особенности таких фигур:
1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.
2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.
Следствия вписанной окружности:
1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.
2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.
Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.
Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ - высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.
Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).
Все формулы средней линии трапеции
Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):
1. Через основания: М = (А+Б)/2.
2. Через высоту, основание и углы:
М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;
М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 - диагонали трапеции; α , β - углы между ними:
М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.
4. Через площадь и высоту: М = П/Н.
\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .
2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
и \(BD\)
– секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\)
как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
.
Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N"\) - середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N"\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Пусть \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\) .
Тогда по теореме Фалеса \(M"\) и \(N"\) - середины отрезков \(BB"\) и \(CC"\) соответственно. Значит, \(MM"\) – средняя линия \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) - средняя линия \(\triangle DCC"\) . Поэтому: \
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B"M"=M"B\) . Значит, \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Таким образом:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .
\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .
В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.
В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются задачи на трапецию , решение которых требует знания ее свойств.
Выясним, какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция.
После изучения свойства средней линии трапеции можно сформулировать и доказать свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции . Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1).
MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD.
Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).
При решении многих задач на трапецию одним из основных приемов является проведение в ней двух высот.
Рассмотрим следующую задачу .
Пусть BT – высота равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD, причем BC = a, AD = b. Найти длины отрезков AT и TD.
Решение.
Решение задачи не вызывает затруднения (рис. 2) , но оно позволяет получить свойство высоты равнобедренной трапеции, проведенной из вершины тупого угла : высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший – полусумме оснований.
При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения.
Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (рис. 3) , если принять за их основания отрезки BO и OD. Тогда S BOC /S COD = BO/OD = k. Следовательно, S COD = 1/k · S BOC .
Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S BOC /S AOB = CO/OA = k и S А O В = 1/k · S BOC .
Из этих двух предложений следует, что S COD = S А O В.
Не будем останавливаться на сформулированном утверждении, а найдем связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями . Для этого решим следующую задачу.
Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции АBCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S 1 и S 2 . Найти площадь трапеции.
Так как S COD = S А O В, то S АВС D = S 1 + S 2 + 2S COD .
Из подобия треугольников BОC и AOD следует, что ВО/OD = √(S₁/S 2).
Следовательно, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), а значит S COD = √(S 1 · S 2).
Тогда S АВС D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .
С использованием подобия доказывается и свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям .
Рассмотрим задачу :
Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. BC = a, AD = b. Найти длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О (рис. 4)?
Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a.
Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b).
Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).
Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b).
Отсюда PO = OK и PK = 2ab/(a + b).
Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.
Следующее свойство четырех точек : в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.
Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 5) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.
Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD.
Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.
Так же можно найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных.
Если трапеции ALFD и LBCF подобны (рис. 6), то a/LF = LF/b.
Отсюда LF = √(ab).
Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований
.
Докажем свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие .
Пусть площадь трапеции равна S (рис. 7). h 1 и h 2 – части высоты, а х – длина искомого отрезка.
Тогда S/2 = h 1 · (a + x)/2 = h 2 · (b + x)/2 и
S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Составим систему
{h 1 · (a + x) = h 2 · (b + x)
{h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Решая данную систему, получим х = √(1/2(а 2 + b 2)).
Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна√((а 2 + b 2)/2) (среднему квадратичному длин оснований).
Итак, для трапеции ABCD с основаниями AD и BC (BC = a, AD = b) доказали, что отрезок:
1) MN, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме (среднему арифметическому чисел a и b);
2) PK, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, равен
2ab/(a + b) (среднему гармоническому чисел a и b);
3) LF, разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому чисел a и b, √(ab);
4) EH, делящий трапецию на две равновеликие, имеет длину √((а 2 + b 2)/2) (среднее квадратичное чисел a и b).
Признак и свойство вписанной и описанной трапеции.
Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.
Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.
Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность:
1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.
2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.
Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции :
Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое оснований трапеции
h = 2r = √(ab).
Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на трапецию?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
