Степень с рациональным показателем в химии. Урок «Степень с рациональным показателем

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» содержит наглядный учебный материал для ведения урока по данной теме. В видеоуроке содержится информация о понятии степени с рациональным показателем, свойства, таких степеней, а также примеры, описывающие применение учебного материала для решения практических задач. Задача данного видеоурока - наглядно и понятно представить учебный материал, облегчить его освоение и запоминание учениками, формировать умение решать задачи с использованием изученных понятий.

Основные преимущества видеоурока - возможность производить наглядно преобразования и вычисления, возможность использования анимационных эффектов для улучшения эффективности обучения. Голосовое сопровождение помогает развивать правильную математическую речь, а также дает возможность заменить объяснение учителя, освобождая его для проведения индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с представления темы. Связывая изучения новой темы с ранее изученным материалом, предлагается вспомнить, что n √aиначе обозначается a 1/n для натурального n и положительного a. Данное представление корня n-степени отображается на экране. Далее предлагается рассмотреть, что значит выражение a m/n , в котором a - положительное число, а m/n - некоторая дробь. Дается выделенное в рамке определение степени с рациональным показателем как a m/n = n √a m . При этом отмечено, что n может быть натуральным числом, а m - целым.

После определения степени с рациональным показателем ее смысл раскрывается на примерах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Также демонстрируется пример, в котором степень, представленная десятичной дробью, преобразуется в обычную дробь, чтобы быть представленной в виде корня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицательным значением степени: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Отдельно указывается особенность частного случая, когда основание степени - нуль. Отмечено, что данная степень имеет смысл только с положительным дробным показателем. В этом случае ее значение равно нулю: 0 m/n =0.

Отмечена еще одна особенность степени с рациональным показателем - то, что степень с дробным показателем не может рассматриваться с дробным показателем. Приведены примеры некорректной записи степени: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Далее в видеоуроке рассматриваются свойства степени с рациональным показателем. Замечено, что свойства степени с целым показателем будут также справедливы и для степени с рациональным показателем. Предлагается вспомнить перечень свойств, которые также справедливы в данном случае:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: a p a q =a p+q .
Деление степеней с одинаковыми основаниями сводится к степени с данным основанием и разностью показателей степеней: a p:a q =a p-q .
Если возвести степень в некоторую степень, то в итоге получаем степень с данным основанием и произведением показателей: (a p) q =a pq .

Все данные свойства справедливы для степеней с рациональными показателями p, q и положительным основанием a>0. Также верными остаются преобразования степени при раскрытии скобок:

(ab) p =a p b p - возведение в некоторую степень с рациональным показателем произведения двух чисел сводится к произведению чисел, каждое из которых возведено в данную степень.
(a/b) p =a p /b p - возведение в степень с рациональным показателем дроби сводится к дроби, числитель и знаменатель которой возведены в данную степень.

В видеоуроке рассматривается решение примеров, в которых используются рассмотренные свойства степеней с рациональным показателем. В первом примере предлагается найти значение выражения, в котором содержатся переменные х в дробной степени: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Несмотря на сложность выражения, с применением свойств степеней оно решается достаточно просто. Решение задания начинается с упрощения выражения, в котором используется правило возведения степени с рациональным показателем в степень, а также перемножение степеней с одинаковым основанием. После подстановки заданного значения х=8 в упрощенное выражение х 1/3 +48, легко получить значение - 50.

Во втором примере требуется сократить дробь, числитель и знаменатель которой содержать степени с рациональным показателем. Используя свойства степени, выделяем из разности множитель х 1/3 , который затем сокращается в числителе и знаменателе, а используя формулу разности квадратов, на множители раскладывается числитель, что дает еще сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итогом таких преобразований становится короткая дробь х 1/4 +3.

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» может быть использован вместо объяснения учителем новой темы урока. Также данное пособие содержит достаточно полную информацию для самостоятельного изучения учеником. Материал может быть полезен и при дистанционном обучении.

МБОУ «Сидорская

общеобразовательная школа»

Разработка плана-конспекта открытого урока

по алгебре в 11 классе на тему:

Подготовила и провела

учитель по математике

Исхакова Е.Ф.

План-конспект открытого урока по алгебре в 11 классе.

Тема : «Степень с рациональным показателем».

Тип урока : Изучение нового материала

Цели урока :

Познакомить учащихся с понятием степени с рациональным показателем и её основными свойствами, на основе ранее изученного материала (степень с целым показателем).

Развивать вычислительные навыки и умения преобразовывать и сравнивать числа с рациональным показателем степени.

Воспитывать математическую грамотность и математический интерес у учащихся.

Оборудование : Карточки-задания, презентация ученицы по степени с целым показателем, презентация учителя по степени с рациональным показателем, ноутбук, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока:

Организационный момент.

Проверка усвоения пройденной темы по индивидуальным карточкам-заданиям.

Задание №1.

=2;

Б) =х + 5;

Решите систему иррациональных уравнений: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Задание №2.

Решите иррациональное уравнение: = - 3;

Б) = х - 2;

Решите систему иррациональных уравнений: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Сообщение темы и целей урока.

Тема нашего сегодняшнего урока «Степень с рациональным показателем ».

Объяснение нового материала на примере изученного ранее.

Вам уже знакомо понятие степени с целым показателем. Кто мне поможет их вспомнить?

Повторение с помощью презентации «Степень с целым показателем ».

Для любых чисел a , b и любых целых чисел m и n справедливы равенства:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Сегодня мы обобщим понятие степени числа и придадим смысл выражениям, имеющим дробный показатель степени. Введём определение степени с рациональным показателем (Презентация «Степень с рациональным показателем»):

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем r = , где m – целое число, а n – натуральное ( n > 1), называется число m .

Итак, по определению получаем, что = m .

Давайте попробуем применить это определение при выполнении задания.

ПРИМЕР №1

I Представьте в виде корня из числа выражение:

А) Б) В) .

А теперь давайте попробуем применить это определение наоборот

II Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

А) 2 Б) В) 5 .

Степень числа 0 определена только для положительных показателей.

0 r = 0 для любого r > 0.

Используя данное определение, дома вы выполните №428 и №429.

Покажем теперь, что при сформулированном выше определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей.

Для любых рациональных чисел r и s и любых положительных a и b справедливы равенства:

1 0 . a r a s =a r+s ;

ПРИМЕР : *

2 0 . a r: a s =a r-s ;

ПРИМЕР: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

ПРИМЕР: ( -2/3

4 0 . ( ab ) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИМЕР: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИМЕР на применение сразу нескольких свойств: * : .

Физкультминутка.

Положили авторучки на парту, спинки выпрямили, а теперь тянемся вперёд, хотим дотронуться до доски. А теперь подняли и наклоняемся вправо, влево, вперёд, назад. Ручки мне показали, а теперь покажите как умеют танцевать ваши пальчики.

Работа над материалом

Отметим ещё два свойства степеней с рациональными показателями:

6 0 . Пусть r – рациональное число и 0 < a < b . Тогда

a r < b r при r > 0,

a r < b r при r < 0.

7 0 . Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r > s следует, что

a r > а r при а > 1,

a r < а r при 0 < а < 1.

ПРИМЕР: Сравните числа:

И ; 2 300 и 3 200 .

Итоги урока:

Сегодня на уроке мы вспомнили свойства степени с целым показателем, узнали определение и основные свойства степени с рациональным показателем, рассмотрели применение этого теоретического материала на практике при выполнении упражнений. Хочу обратить ваше внимание на то, что тема «Степень с рациональным показателем» является обязательной в заданиях ЕГЭ. При подготовке домашнего задания (№428 и №429

Степень с рациональным показателем

Хасянова Т.Г.,

преподаватель математики

Представленный материал будет полезен преподавателям математики при изучении темы «Степень с рациональным показателем».

Цель представленного материала: раскрытие моего опыта проведения занятия по теме «Степень с рациональным показателем» рабочей программы дисциплины «Математика».

Методика проведения занятия соответствует его типу - урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Была проведена актуализация опорных знаний и умений на базе ранее полученного опыта; первичное запоминание, закрепление и применение новых сведений. Закрепление и применение нового материала проходило в виде решения апробированных мною задач различной сложности, дающие положительный результат усвоения темы.

В начале занятия мною были поставлены перед обучающимися следующие цели: образовательная, развивающая, воспитательная. На занятии мною применялись различные способы деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, самостоятельная, тестовая. Задания были дифференцированы и позволяли выявлять, на каждом этапе урока, степень усвоения знаний. Объем и сложность заданий соответствует возрастным особенностям учащихся. Из моего опыта – домашнее задание, аналогичное задачам, решенным в учебном кабинете, позволяет надежно закрепить полученные знания и умения. В конце урока была проведена рефлексия и оценены работы отдельных обучающихся.

Цели были достигнуты. Обучающиеся изучили понятие и свойства степени с рациональным показателем, научились использовать эти свойства при решении практических задач. За самостоятельную работу оценки объявляются на следующем уроке.

Считаю, что применяемая мною методика проведения занятий по математике может быть применена преподавателями математики.

Тема занятия: Степень с рациональным показателем

Цель урока:

Выявление уровня овладения обучающимися комплексом знаний и умений и на его основе применение определенных решений по совершенствованию учебного процесса.

Задачи урока:

Обучающие: формировать новые знания у обучающихся основных понятий, правил, законов на определение степени с рациональным показателем, умения самостоятельно применять знания в стандартных условиях, в измененных и нестандартных условиях;

развивающие: логически мыслить и реализовывать творческие способности;

воспитывающие: формировать интерес к математике, пополнить лексический запас новыми терминами, получить дополнительную информацию об окружающем мире. Воспитывать терпение, усидчивость, способность преодолевать трудности.

Организационный момент

Актуализация опорных знаний

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним:

Например,

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остается прежним:

Например,

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним:

Например,

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

Например,

5. Степень частного равна частному степеней делимого н делителя:

Например,

Упражнения с решениями

Найти значение выражения:

Решение:

В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей);

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним).

Тогда получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Арифметический квадратный корень
- это неотрицательное число, квадрат которого равен a ,
. При
- выражение
не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу a .